计算科学最深远的抱负之一，是观察复杂系统——湍流流体、化学反应、生态系统——并提取支配其行为的数学规则。这就是”方程发现”或”符号回归”，几十年来人们一直在追求这个目标。挑战在于，现实世界的数据嘈杂、多尺度且不完整。SINDy（非线性动力学稀疏辨识）等经典方法即使在适度噪声存在的情况下也会失效。神经网络方法虽然稳健，但会产生黑箱：它们可以预测但无法解释。
中国科学院沈阳自动化研究所的一个团队现在开发了一个结合两者优点的框架。该框架名为PK-MCL（物理-Koopman多尺度对比学习），可以从受高达10%噪声污染的数据中提取干净、物理可解释的控制方程，包括缺失的空间区域和时间间隙。该成果于7月13日发表在《自然·通讯》上。
“我们的框架将问题从静态曲线拟合转向受约束的动态推理，”通讯作者周晓峰表示。”恢复的方程不仅要拟合训练数据，还要在长时间范围内产生稳定、有物理意义的预测。”
三个模块
PK-MCL集成了三个组件。第一个是多尺度Koopman神经算子，它使用傅里叶变换将输入场分解为不同的频带，本质上分离了快速和慢速动力学，并在学习的潜在空间中线性演化每个频带。这种频谱分解对于不同物理过程在不同时间尺度上运行的系统至关重要，例如嵌入流动流体中的化学反应。
第二个组件是物理引导的稀疏投影，它约束输出方程由预先指定的库中的少量物理有意义的项组成，这些项包括多项式、空间导数和其他可解释的构建模块。这直接嵌入到训练过程中，而不是作为事后修正应用，因此神经网络从一开始就被明确引导向识别紧凑方程。
第三个组件是多视图一致性正则化，借鉴自自监督学习（BYOL架构），它迫使模型在输入的不同扰动（掩码、噪声注入、时间丢弃）下产生不变表示。这极大地提高了鲁棒性。
这三个组件通过一个平衡预测精度、方程稀疏性和表示一致性的单一损失函数进行联合训练。
基准测试
研究人员在一系列标准系统上测试了PK-MCL：Burgers方程（非线性对流扩散模型）、二维FitzHugh-Nagumo反应扩散系统和二维Navier-Stokes涡度方程。在所有情况下，PK-MCL都能以高保真度恢复正确的控制方程，即使在10%测量噪声下也是如此，而经典SINDy及其变体在相同条件下完全失效。
该框架还展示了稳定的长期预测能力，在数百个时间步长上保持精度，并推广到未见过的初始条件和运行状态。在Navier-Stokes基准测试中，它保留了基线方法未能捕捉到的大尺度涡旋结构和能量级联。
除了合成基准测试，团队还在来自工业研磨和分级回路的真实传感器数据上验证了PK-MCL，这是一个具有八个测量变量、传感器噪声和缺失样本的矿物处理系统。该框架提取了变量之间物理有意义的关系，这些关系与已知的工厂行为相匹配。
可解释性的原因
与标准神经网络不同，PK-MCL输出一组稀疏系数，这些系数直接映射到可解释的数学项：对流、扩散、反应速率。用户不仅仅得到预测，他们得到的是一个方程。频谱分解揭示了哪些频带支配哪些现象，提供了额外的物理洞察。
有几个注意事项。该方法需要一个预先指定的候选项库；如果真实控制方程使用了库中没有的函数，恢复将失败。基准测试仅限于一维和二维系统；三维问题在计算上要求很高。该框架尚未在具有不连续性或随机噪声的系统上进行测试。该论文作为预印本发表，尚未经过最终编校。
尽管如此，PK-MCL向自动化科学发现的目标迈出了重要一步：将原始数据输入机器，并得到简洁、人类可读的方程，从而增进对基础物理学的理解。从气候科学到系统生物学再到工程学，这种能力可能改变模型的构建方式。
婷 翻译
Source: Jia, D., Li, S., Zuo, X. et al. “From data chaos to physically interpretable deterministic mapping.” Nature Communications (2026). DOI: 10.1038/s41467-026-75164-9