雅可比猜想已经吞噬了数学家们 87 年的职业生涯。这一猜想由 Ott-Heinrich Keller 于 1939 年提出，它提出了一个看似简单的问题：如果从 n 维复空间到其自身的多项式映射，其雅可比行列式处处为非零常数，那么该映射是否必然存在多项式逆映射？一代又一代的数学家宣称证明了它，又眼看着证明崩塌；至少在一个著名的案例中，一位前途光明的数学家眼睁睁看着自己的职业生涯彻底脱轨。2026 年 7 月世界杯决赛之夜，Anthropic 的一位数学家发布了一个 216 字符的公式，终结了二维以上所有维度中的这一猜想。
Levent Alpoge 以群聊式的随意口吻在 X 平台上发帖，宣布雅可比猜想是错的。这个反例是一个从三维复空间到其自身的映射，包含三个次数分别为 7、6 和 4 的多项式分量。它的雅可比行列式恒等于 -2，是一个非零常数，在每一点上都满足猜想的前提条件。然而，三个不同的输入 (0, 0, -1/4)、(1, -3/2, 13/2) 和 (-1, 3/2, 13/2) 都映射到同一个输出 (-1/4, 0, 0)。一个非单射的映射不可能有逆映射，无论这个逆映射是多项式的还是其他形式的。这一猜想在三维空间中不成立，而通过添加额外变量，它在高于三维的所有维度中也不成立。二维情形仍然悬而未决。
搜索由机器完成
关键在于这个反例是如何被找到的。Alpoge 将功劳归于 Anthropic 的模型 Claude Fable 5，称其在世界杯决赛期间完成了这项工作，而起因是他的朋友、斯坦福大学的 Akhil Mathew 提出的一个问题。具体的提示词从未公开，数学家们指出，这次搜索需要真正的洞察力，不是一句措辞巧妙的问题就能完成的。
得到验证的是数学本身，而且验证过程异常彻底。一天之内，SymPy、Wolfram Alpha 以及 Isabelle/HOL 和 Lean 4 两个形式化证明工具中相继出现了独立的验证。Archive of Formal Proofs（形式化证明档案库）发表了一份 Isabelle/HOL 证明，证明行列式为 -2、三个点发生重合、且不存在多项式逆映射。同一天还出现了多个 Lean 4 形式化版本。由于所有系数都是有理数，这个反例在任意特征为零的域上都成立。
一个身世复杂的猜想
雅可比猜想因吸引大量错误证明而被称为最臭名昭著的开放问题。后来以素数间隔突破闻名的张益唐，其博士之路曾因导师对这一猜想的证明被证实有误而一度脱轨。这一问题出现在 Stephen Smale 1998 年列出的下一世纪数学问题清单上，与 Dixmier 猜想等价，并与 Mathieu 猜想和高斯矩猜想相关。二维情形此前只经过次数最高为 100 的计算机验证。
数学家们的反应明显分歧。菲尔兹奖得主 Timothy Gowers 称，这一结果是第一个大到连他都听说过的由 AI 解决的问题。其他人则更为审慎，指出反例终结了一场争论，但与证明不同，它几乎无法揭示当初让这一猜想显得合理的结构。发现方法也仍然不透明：数学界可以验证这一结果，却还无法验证产生它的推理过程。
仍然成立的部分
公告发布后的数学图景，比一次简单的拆除要微妙得多。这个映射不是固有映射，其像漏掉了一条光滑曲线，而一个更精细的定理依然成立：固有凯勒映射是多项式自同构。这个反例恰恰因非固有性而失效。研究人员已经开始在这一结果的基础上继续推进，围绕分次凯勒映射以及相关猜想在更高维度上的失效，已有论文陆续发表。一位 OpenAI 研究人员报告称，其内部模型独立地找到了本质相同的反例，这表明这一结构并非某个单一系统的偶然产物。
Alpoge 承诺会撰写完整的论文，但截至 2026 年 8 月初仍未发表。目前，这一结果以 X 帖子的形式存在，得到了形式化证明工具的独立验证，但并未经过传统意义上的同行评审。这一区别是否重要，或许正是这次事件就数学今后将如何开展所提出的更深层的问题。
婷 翻译
资料来源
- Levent Alpoge（@__alpoge__），X 平台帖子，2026 年 7 月 20 日：https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566
- The Conversation，《hello there the jacobian conjecture is false thanx…》，2026 年 7 月 22 日
- New Scientist，2026 年 7 月 20 日
- Archive of Formal Proofs，《Jacobian Counterexample》（Isabelle/HOL），2026 年 7 月 20 日
- arXiv:2607.20210（Shaska），arXiv:2607.18186、2607.19012（Long）
- ScienceDaily 新闻稿，2026 年 8 月 5 日