La conjetura de Jacobi ha devorado carreras durante 87 años. Planteada en 1939 por Ott-Heinrich Keller, plantea una pregunta engañosamente sencilla: si una aplicación polinómica del espacio complejo de n dimensiones en sí mismo tiene un determinante jacobiano que es una constante no nula en todos los puntos, ¿debe tener la aplicación una inversa polinómica? Generaciones de matemáticos han reclamado demostraciones, las han visto derrumbarse y, en al menos un caso famoso, han visto descarrilar por completo una carrera prometedora. La noche de la final del Mundial de julio de 2026, un matemático de Anthropic publicó una fórmula de 216 caracteres que pone fin a la conjetura para toda dimensión superior a dos.
La publicación en X de Levent Alpoge, escrita en el registro informal de un chat de grupo, anunciaba que la conjetura de Jacobi es falsa. El contraejemplo es una aplicación del espacio complejo tridimensional en sí mismo con tres componentes polinómicas de grados 7, 6 y 4. Su determinante jacobiano es idénticamente -2, una constante no nula, lo que satisface la hipótesis de la conjetura en todos los puntos. Sin embargo, tres entradas distintas, (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) y (-1, 3/2, 13/2), se asignan todas a la misma salida (-1/4, 0, 0). Una aplicación que no es inyectiva no puede tener inversa, polinómica o de cualquier otro tipo. La conjetura es falsa en tres dimensiones y, añadiendo variables extra, en toda dimensión superior a tres. El caso bidimensional sigue abierto.
La búsqueda la hizo la máquina
El giro está en cómo se encontró el contraejemplo. Alpoge atribuye a Claude Fable 5, el modelo de Anthropic, el haber hecho el trabajo durante la final del Mundial, impulsado por una pregunta de su amigo Akhil Mathew, de Stanford. Las instrucciones exactas nunca se hicieron públicas, y los matemáticos han señalado que la búsqueda exigió un auténtico discernimiento, no una única pregunta bien formulada.
Lo que sí se ha verificado es la matemática en sí, y con una minuciosidad inusual. En menos de un día aparecieron comprobaciones independientes en SymPy, Wolfram Alpha y dos asistentes de demostración formales, Isabelle/HOL y Lean 4. Archive of Formal Proofs publicó una demostración en Isabelle/HOL de que el determinante es -2, de que los tres puntos coinciden y de que no existe ninguna inversa polinómica. El mismo día siguieron múltiples formalizaciones en Lean 4. Como todos los coeficientes son racionales, el contraejemplo funciona sobre todo cuerpo de característica cero.
Una conjetura con un legado complicado
La conjetura de Jacobi ha sido calificada como el problema abierto más célebre por atraer demostraciones erróneas. A Yitang Zhang, más tarde famoso por su avance sobre las lagunas entre primos, se le descarriló el doctorado cuando la demostración de su director de tesis resultó defectuosa. El problema figura en la lista de 1998 de Stephen Smale de problemas matemáticos para el próximo siglo, es equivalente a la conjetura de Dixmier y está conectado con las conjeturas de Mathieu y de los momentos gaussianos. El caso bidimensional solo se había verificado computacionalmente hasta el grado 100.
Las reacciones de los matemáticos han estado notablemente divididas. El medallista Fields Timothy Gowers calificó el resultado como el primer problema resuelto por IA lo bastante importante del que había tenido noticia. Otros fueron más mesurados y señalaron que un contraejemplo pone fin a un argumento pero, a diferencia de una demostración, revela poco sobre la estructura que hacía plausible la conjetura. El método de descubrimiento también sigue siendo opaco: la comunidad puede verificar el resultado, pero todavía no el razonamiento que lo produjo.
Lo que sobrevive
El panorama matemático tras el anuncio es más sutil que una simple demolición. La aplicación no es propia, su imagen omite una curva suave, y sobrevive un teorema refinado: las aplicaciones de Keller propias son automorfismos polinómicos. El contraejemplo falla exactamente por no ser propio. Los investigadores ya han empezado a construir sobre el resultado, con artículos sobre aplicaciones de Keller graduadas y sobre el fracaso de conjeturas relacionadas en dimensiones superiores. Un investigador de OpenAI informó de que un modelo interno encontró de forma independiente esencialmente el mismo contraejemplo, lo que sugiere que la estructura no es una casualidad de un solo sistema.
Alpoge ha prometido un artículo completo, que no había aparecido a principios de agosto de 2026. El resultado existe como una publicación en X, verificada de forma independiente por asistentes de demostración formales, pero no revisada por pares en el sentido tradicional. Que esa distinción importe o no puede ser la pregunta más profunda que plantea el episodio sobre cómo se hará la matemática.
Traducido por Alessandra
Sources
- Levent Alpoge (@__alpoge__), publicación en X, 20 de julio de 2026: https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566
- The Conversation, «hello there the jacobian conjecture is false thanx…», 22 de julio de 2026
- New Scientist, 20 de julio de 2026
- Archive of Formal Proofs, «Jacobian Counterexample» (Isabelle/HOL), 20 de julio de 2026
- arXiv:2607.20210 (Shaska), arXiv:2607.18186, 2607.19012 (Long)
- Comunicado de ScienceDaily, 5 de agosto de 2026