量子力学は虚数なしで成り立つだろうか。何十年もの間、物理学者たちは答えはノーだと想定してきた。つまり、理論の核心にある複素数は、単に便利だからではなく、根本的に必要不可欠だとされてきたのだ。しかしPhysical Review Lettersに掲載された新たな分析は、そうではないことを示唆している。
ハインリッヒ・ハイネ大学（HHU）デュッセルドルフの博士研究員で、ダグマー・ブルス教授やドイツ航空宇宙センター（DLR）の同僚らと協働するペドロ・バリオス・イータ氏は、量子力学を実数のみで完全に定式化しつつ、標準理論の実験的に検証可能なすべての予測を再現できることを示した。
6月18日にPRL 136, 240202（DOI: 10.1103/4k13-sdjh）の Editors’ Suggestion として掲載されたこの論文は、量子力学をゼロから書き換えるものではない。量子系がどのように結合されるかに関する特定の数学的仮定を特定し、それを緩和することで、虚数をまったく必要としない理論のクラスへの扉を開く。
文字「i」をめぐる10年にわたる議論
複素数が量子論に必須かどうかという問題は、スイスの物理学者エルンスト・シュテュッケルベルクが初めて実ヒルベルト空間による定式化を概説した1960年代にまで遡る。しかし、この議論が緊急性を帯びたのは2021年、オーストリア科学アカデミーの研究者らが率いるチームがNatureに論文を発表し、標準的なテンソル積（複数の粒子からなる複合系を記述する数学的ルール）を保持する実数定式化は、標準的な量子力学とは実験的に異なる予測を生み出すと主張した時である。2022年の実験でその予測が確認され、実数による代替案はほぼ否定されたかに見えた。
「2021年の結果で問題は決着したかに思われました」とバリオス・イータ氏はプレスリリースで述べている。「しかし、彼らが用いた公準の一つ、複合系が形成される方法は、物理的原則に反することなく緩和できることに気づいたのです」
テンソル積の緩和
テンソル積は純粋に数学的な構成物である。結合系のヒルベルト空間がその部分のヒルベルト空間からどのように構築されるかを指定する。バリオス・イータ氏らはこれを、物理的に動機づけられた局所性原理に置き換えた。すなわち、あるサブシステムに対する局所的操作は、独立して準備された別のサブシステムに影響を与えるべきではないという原理である。
この緩和されたルールの下では、各量子系は小さな補助要素、「フラグ」を保持し、虚数単位が通常エンコードする情報を追跡する。粒子が相互作用するとき、紙の上では異なるが同一の物理的結果を生み出すフラグ構成は等価として扱われる。このステップにより、標準的なテンソル積が複素演算を通じて自動的に処理する位相関係が再現される。
結果として得られるのは、既知のすべての多部量子実験を再現する、完全に整合性のある実数量子論である。「両方の枠組みは、考え得るあらゆる実験に対して同一の予測をもたらします」とブルス氏は述べている。
この定式化が意味すること、意味しないこと
この結果が何を意味するのか、何を意味しないのかを正確にすることが重要である。
この定式化は、量子力学の作業数学から複素数を排除するものではない。物理学者たちは引き続き計算に複素数を使用するだろう。なぜならはるかに便利だからだ。この定式化が示すのは、これらの数が便利さの問題であって、必要性の問題ではないということである。複素数は位相と振幅を単一のオブジェクトに同時にエンコードするが、同じ物理的内容は原理的には実数の枠組みで表現できる。
また、この定式化は、標準的な量子力学とは異なる新しい検証可能な予測を何も生み出さない。これは意図的なものである。実数値量子力学が実験的に複素数版と区別できないことを示すことが目的なのだ。「実数値量子力学は反証不可能である」と著者らは記しており、これは複素数が自然界の必須の特徴ではなく、選択可能な数学的枠組みであることを意味する。
先行研究と新規性の問題
これを「初めての」実数量子モデルと呼ぶ見出しは注意して読む必要がある。実ヒルベルト空間による定式化は何十年も存在してきた。バリオス・イータ氏の結果が真に新しいのは、すべての多部実験的一貫性チェックに合格した最初の定式化であり、2021年のNature論文によってなされた特定の反証主張に直接反論している点である。初期の試みが特定の絡み合い状態の予測を再現できなかったか、アドホックな数学的構築に依存していたのに対し、今回は合成ルールを修正するための物理的に動機づけられた正当化を提供している。
限界
現在の定式化は有限次元の量子系、つまり有限数の量子状態を持つ系に対してのみ機能する。無限次元系（量子光学などの連続変数設定で一般的）への拡張は未解決の問題であり、他のグループがすでに調査を進めている。また、この構築は単一系の表現と独立した準備の保存に関する追加の仮定に依存しており、純粋に物理的第一原理からの完全な導出はまだ手が届いていない。局所性原理が、テンソル積ではなく第二量子化によって合成が処理される識別不可能な粒子に整合的に適用できるかどうかも、依然として明らかではない。
バリオス・イータ氏は記者団に対し、絡み合いなどの量子特性をリソースとしてどのように利用できるかを探求することに移り、実数の枠組みの拡張は他の研究者に委ねると述べた。
視点の転換、革命ではない
この論文は、量子力学への挑戦としてではなく、その論理構造の明確化として読まれるべきである。複素数は量子計算にとって最も効率的なツールであり続け、誰もそれを放棄することを提案していない。この結果が明確にするのは、複素数が便利さであって、形而上学的な必然性ではないということである。量子論は、適切な物理的原理がその部分の組み合わせ方を支配するならば、実数のみに基づくことができることが明らかになったのである。
出典: Barrios Hita, P., Trushechkin, A., Kampermann, H., Epping, M., & Bruss, D. “Quantum Mechanics Based on Real Numbers: A Consistent Description.” Physical Review Letters 136, 240202 (2026). DOI: 10.1103/4k13-sdjh
雅子 訳