ヤコビアン予想は87年にわたり、数学者たちのキャリアを呑み込んできた。1939年にオット＝ハインリヒ・ケラーが提起したこの予想は、一見すると単純な問いを投げかける。n次元複素空間からそれ自身への多項式写像のヤコビ行列式が、至るところで零でない定数であるならば、その写像は多項式の逆写像を持つだろうか。幾世代にもわたる数学者たちが証明を主張し、それが崩壊するのを見届け、少なくとも一つの有名な事例では、有望なキャリアが完全に頓挫するのを目の当たりにした。2026年7月のワールドカップ決勝の夜、Anthropicの数学者が216文字の数式を投稿し、2次元以上のすべての次元でこの予想に終止符を打った。
レベント・アルポゲ氏のXへの投稿は、グループチャットのくだけた文体で書かれ、ヤコビアン予想が偽であると宣言した。反例となるのは、3次元複素空間からそれ自身への写像で、次数がそれぞれ7、6、4の3つの多項式成分を持つ。そのヤコビ行列式は恒等的に-2となり、零でない定数であるため、予想の仮定をすべての点で満たす。ところが、3つの異なる入力、(0, 0, -1/4)、(1, -3/2, 13/2)、(-1, 3/2, 13/2)は、いずれも同じ出力(-1/4, 0, 0)へ写される。単射でない写像は、多項式であれ何であれ、逆写像を持ち得ない。この予想は3次元で偽であり、余分な変数を付け加えることで、3次元以上のすべての次元でも偽となる。2次元の場合については、依然として未解決のままである。
探索を行ったのは機械
ひねりは、反例がどのように見つかったかにある。アルポゲ氏は、スタンフォード大学の友人のアクヒル・マシュー氏からの質問をきっかけに、ワールドカップ決勝の最中、AnthropicのモデルであるClaude Fable 5がその作業を行ったとしている。正確なプロンプトは公表されておらず、数学者たちは、この探索にはうまく練られた一つの質問ではなく、真の洞察が必要だったと指摘している。
検証されたのは数学そのものであり、その徹底ぶりは異例だ。1日以内に、SymPy、Wolfram Alpha、そしてIsabelle/HOLとLean 4という2つの形式証明アシスタントによる独立した検証が現れた。Archive of Formal Proofsは、行列式が-2であること、3つの点が同一の点に写ること、そして多項式の逆写像が存在しないことのIsabelle/HOLによる証明を公開した。同じ日には複数のLean 4による形式化も続いた。すべての係数が有理数であるため、この反例は標数0のすべての体で成立する。
複雑な遺産を持つ予想
ヤコビアン予想は、誤った証明を引き寄せることで最も悪名高い未解決問題と呼ばれてきた。後に素数間隔の画期的な業績で有名になる張益唐氏は、指導教官によるこの予想の証明に欠陥があると判明した際、博士号取得の道が頓挫した。この問題はスティーブン・スメールが1998年に発表した次世紀の数学問題リストに載っており、ディクスミエ予想と同値で、マチュー予想およびガウスモーメント予想とも関連している。2次元の場合については、次数100までしか計算による検証が行われていなかった。
数学者たちの反応は顕著に分かれている。フィールズ賞受賞者のティモシー・ガワーズ氏は、この結果を、自身が耳にした中で初めての、AIによって解かれた十分に大きな問題だと評した。他の数学者たちはより慎重で、反例は論争に終止符を打つものの、証明とは異なり、その予想をもっともらしく見せていた構造についてはほとんど明らかにしないと指摘する。発見の方法も依然として不透明だ。コミュニティは出力を検証することはできるが、それを生み出した推論はまだ検証できていない。
生き残るもの
発表後の数学的状況は、単純な破壊よりも微妙だ。この写像は固有ではなく、その像は滑らかな曲線を一つ欠いている。そして洗練された定理は生き残る。固有なケラー写像は多項式自己同型である、という定理だ。反例はまさに非固有性によって失敗している。研究者たちはすでにこの結果を基に研究を始めており、次数付きケラー写像や、高次元における関連予想の崩壊に関する論文が発表されている。OpenAIの研究者の一人は、内部モデルが本質的に同じ反例を独自に見つけたと報告しており、この構造が単一のシステムの偶然の産物ではないことを示唆している。
アルポゲ氏は完全な論考を約束しているが、2026年8月初旬の時点ではまだ発表されていない。この結果はXへの投稿として存在し、形式証明アシスタントによって独立に検証されているが、伝統的な意味での査読は受けていない。その違いが重要かどうかは、数学が今後どのように行われるのかについて、この出来事が投げかけるより深い問いかもしれない。
雅子 訳
出典
- Levent Alpoge (@__alpoge__), X post, July 20, 2026: https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566
- The Conversation, “hello there the jacobian conjecture is false thanx…”, July 22, 2026
- New Scientist, July 20, 2026
- Archive of Formal Proofs, “Jacobian Counterexample” (Isabelle/HOL), July 20, 2026
- arXiv:2607.20210 (Shaska), arXiv:2607.18186, 2607.19012 (Long)
- ScienceDaily release, August 5, 2026