La conjecture de Jacobi engloutit des carrières depuis 87 ans. Posée en 1939 par Ott-Heinrich Keller, elle pose une question d’une simplicité trompeuse : si une application polynomiale de l’espace complexe de dimension n dans lui-même possède un déterminant jacobien qui est une constante non nulle partout, l’application doit-elle admettre un inverse polynomial ? Des générations de mathématiciens ont revendiqué des preuves, les ont vues s’effondrer et, dans au moins un cas célèbre, ont vu une carrière prometteuse dérailler complètement. Dans la nuit de la finale de la Coupe du monde de juillet 2026, un mathématicien d’Anthropic a publié une formule de 216 caractères qui met fin à la conjecture pour toute dimension supérieure à deux.
Le post sur X de Levent Alpoge, rédigé dans le registre informel d’une conversation de groupe, annonçait que la conjecture de Jacobi est fausse. Le contre-exemple est une application de l’espace complexe de dimension trois dans lui-même, à trois composantes polynomiales de degrés 7, 6 et 4. Son déterminant jacobien est identiquement -2, une constante non nulle, ce qui satisfait l’hypothèse de la conjecture en tout point. Pourtant, trois entrées distinctes, (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) et (-1, 3/2, 13/2), s’envoient toutes sur la même sortie (-1/4, 0, 0). Une application qui n’est pas injective ne peut pas avoir d’inverse, polynomial ou autre. La conjecture est fausse en dimension trois et, en ajoutant des variables supplémentaires, en toute dimension supérieure à trois. Le cas en deux dimensions reste ouvert.
C’est la machine qui a cherché
La particularité tient à la façon dont le contre-exemple a été trouvé. Alpoge attribue à Claude Fable 5, le modèle d’Anthropic, le fait d’avoir fait le travail pendant la finale de la Coupe du monde, à la suite d’une question de son ami Akhil Mathew, de Stanford. Les prompts exacts n’ont jamais été rendus publics, et des mathématiciens ont fait remarquer que la recherche a exigé une réelle perspicacité, et non une seule question bien formulée.
Ce qui a été vérifié, c’est la mathématique elle-même, et avec une rigueur inhabituelle. En l’espace d’une journée, des vérifications indépendantes sont apparues dans SymPy, Wolfram Alpha et deux assistants de preuve formels, Isabelle/HOL et Lean 4. L’Archive of Formal Proofs a publié une preuve Isabelle/HOL établissant que le déterminant vaut -2, que les trois points coïncident et qu’aucun inverse polynomial n’existe. Plusieurs formalisations Lean 4 ont suivi le même jour. Comme tous les coefficients sont rationnels, le contre-exemple vaut sur tout corps de caractéristique nulle.
Une conjecture à l’héritage compliqué
La conjecture de Jacobi a été qualifiée de problème ouvert le plus notoire pour attirer les preuves erronées. Yitang Zhang, plus tard célèbre pour sa percée sur les écarts entre nombres premiers, a vu son doctorat dérailler lorsque la preuve de la conjecture proposée par son directeur de thèse s’est révélée erronée. Le problème figure sur la liste des problèmes mathématiques pour le prochain siècle publiée par Stephen Smale en 1998, il est équivalent à la conjecture de Dixmier et lié aux conjectures de Mathieu et des moments gaussiens. Le cas bidimensionnel n’avait été vérifié par calcul que jusqu’au degré 100.
Les réactions des mathématiciens sont nettement partagées. Timothy Gowers, médaille Fields, a déclaré que c’était le premier problème résolu par une IA assez important pour qu’il en ait entendu parler. D’autres se sont montrés plus mesurés, faisant remarquer qu’un contre-exemple clôt une discussion mais, à la différence d’une preuve, révèle peu de choses sur la structure qui rendait la conjecture plausible. La méthode de découverte reste aussi opaque : la communauté peut vérifier le résultat, mais pas encore le raisonnement qui l’a produit.
Ce qui survit
Le paysage mathématique après l’annonce est plus subtil qu’une simple démolition. L’application n’est pas propre, son image évite une courbe lisse, et un théorème affiné survit : les applications de Keller propres sont des automorphismes polynomiaux. Le contre-exemple échoue exactement par sa non-propreté. Des chercheurs ont déjà commencé à s’appuyer sur le résultat, des articles paraissant sur les applications de Keller graduées et sur l’échec de conjectures apparentées en dimensions supérieures. Un chercheur d’OpenAI a rapporté qu’un modèle interne avait trouvé de manière indépendante essentiellement le même contre-exemple, ce qui suggère que cette structure n’est pas un hasard propre à un seul système.
Alpoge a promis un compte rendu complet, qui n’avait pas encore paru début août 2026. Le résultat existe sous la forme d’un post sur X, vérifié indépendamment par des assistants de preuve formels, mais il n’a pas fait l’objet d’une évaluation par les pairs au sens traditionnel. Savoir si cette distinction compte est peut-être la question plus profonde que pose cet épisode sur la manière dont les mathématiques seront pratiquées.
Traduit par Lydie
Sources
- Levent Alpoge (@__alpoge__), post sur X, 20 juillet 2026 : https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566
- The Conversation, « hello there the jacobian conjecture is false thanx… », 22 juillet 2026
- New Scientist, 20 juillet 2026
- Archive of Formal Proofs, « Jacobian Counterexample » (Isabelle/HOL), 20 juillet 2026
- arXiv:2607.20210 (Shaska), arXiv:2607.18186, 2607.19012 (Long)
- Communiqué de ScienceDaily, 5 août 2026